単純梁、中央集中荷重の公式とその解法

モデル図

単純梁、中央集中荷重のモデル図

【公式】

反力 $$R_{A}=R_{B}=\frac{P}{2}$$

Q図、M図

Q図、M図

せん断力 $$Q_{max}=\frac{P}{2}$$
曲げモーメント $$M_{max}=\frac{PL}{4}$$
たわみ量 $$\delta_{max}=\frac{PL^3}{48EI}$$

【公式の解法】

1.反力の算定

単純梁は静定構造であるため、力のつり合い式で計算することができます。

X方向の力のつり合い(\(ΣX=0\) )より
$$H_{A}=0$$

Y方向の力のつり合い(\(ΣY=0\))より
\begin{eqnarray}
-P+R_{A}+R_{B} &=& 0 \\
R_{A}+R_{B} &=& P\qquad\cdot\cdot\cdot(1)
\end{eqnarray}

A点での回転力のつり合い(\(ΣMA=0\))より
\begin{eqnarray}
P\times \frac{L}{2}-R_{B}\times L &=& 0 \\
R_{B} &=& \frac{P}{2}\qquad\cdot\cdot\cdot(2)
\end{eqnarray}

(2)式を(1)式に代入して、\(R_{A}\)を算定します。
$$R_{A}=\frac{P}{2}$$

2.Q,Mの算定

2-1.A点より長さ0~L/2まで

ここからは、梁を長さ\(X_{1})で切断した場合の力のつり合いにより、計算していきます。
梁の内部にも軸力、せん断力、曲げモーメントという力が作用しており、これらは外力と釣り合っているのです。
X方向の力のつり合いは、反力の算定で0とわかりましたので省略します。

Y方向の力のつり合い(\(ΣY=0)\)より
\begin{eqnarray}
R_{A}-Q &=& 0\\
Q&=& R_{A}\\
&=& \frac{P}{2}
\end{eqnarray}

A点での回転力のつり合い(\(ΣMA=0\)より
\begin{eqnarray}
Q\times X_{1}-M &=& 0\\
M &=& Q\times X_{1} \\
&=& \frac{PX_{1}}{2}
\end{eqnarray}

2-2.A点より、長さL/2~Lまで

計算方法は同様です、次の検討は、外力Pが含まれていることに注意しましょう。

Y方向の力のつり合い(\(ΣY=0\))より
\begin{eqnarray}
R_{A}-P-Q &=& 0 \\
Q &=& P-R_{A} \\
&=& -\frac{P}{2}
\end{eqnarray}

A点での回転力のつり合いより(\(ΣMA=0\)より
\begin{eqnarray}
Q\times X_{2}+P\times \frac{L}{2}-M &=& 0 \\
M &=& \frac{PL}{2}-QX_{2} \\
&=& \frac{PL}{2}+\frac{P}{2}\times X_{2}\\
&=& \frac{P}{2}\times (L-X_{2})
\end{eqnarray}

Xの値 Q M
0 P/2 0
L/4 P/2 PL/8
L/2 ±P/2(変曲点) PL/4(Mmax)
3L/4 -P/2 PL/8
L -P/2 0

以上。

まとめ

公式が示されているのものは、公式の数値のみを覚えたりしている場合も多いですが、基本に立ち返り成り立ちを把握してみるのもよいのではないでしょうか。

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